คณิตศาสตร์น่ารู้

บทที่ 1

ระบบเลขฐาน

 

1.1 จำนวนในระบบเลขฐาน

ในปัจจุบันระบบเลขฐานที่ใช้อยู่เป็นระบบเลขฐาน 10 ซึ่งมีข้อสังเกตต่อไปนี้

1. สัญลักษณ์หรือตัวเลขที่ใช้อยู่ในระบบมี 10 ตัวเท่านั้นคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, และ 9 ในการสร้าวจำนวนมากหรือน้อยเพียงใด เรามีขอบเขตที่จะนำตัวเลขมาใช้เพียง 10 ตัวเท่านั้น เช่น 523, 47015, 62.734

 

2. สัญลักษณ์หรือตัวเลขตัวเดียวกันมีค่าต่างกัน เมื่อเขียนอยู่ในตำแหน่งที่ต่างกัน เช่น 7 4 4 4

หลักที่ 1 ; เลข 4 มีค่าเป็น 4 หรือ 4 x 10 º

หลักที่ 2 ; เลข 4 มีค่าเป็น 40 หรือ 4 x 10 ¹

หลักที่ 3 ; เลข 4 มีค่าเป็น 400 หรือ 4 x 10 ²

หลักที่ 4 ; เลข 7 มีค่าเป็น 7000 หรือ 7 x 10 ³

0. 4 1 4

หลักที่ 1 ; เลข 4 มีค่าเป็น 0.4 หรือ 4 x 10 ¯ ¹

หลักที่ 2 ; เลข 1 มีค่าเป็น 0.01 หรือ 1 x 10 ¯ ²

หลักที่ 3 ; เลข 4 มีค่าเป็น 0.004 หรือ 4 x 10 ¯ ³

 

3. จำนวนทุกจำนวนของเลขฐาน 10 สามารถกระจายออกเป็นผลบวกของตัวเลขประจำตำแหน่งคูณกับค่าประจำตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฎอยู่ เช่น

 

1.2 การเปลี่ยนระบบเลขฐาน r เป็นระบบเลขฐาน 10

สัญลักษณ์หรือตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐาน r

ระบบเลขฐาน สัญลักษณ์หรือตัวเลขที่ใช้

10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

 

ในระบบเลขฐาน 16 A มีค่า 10 หน่วย B มีค่า 11 หน่วย

C มีค่า 12 หน่วย D มีค่า 13 หน่วย

E มีค่า 14 หน่วย F มีค่า 15 หน่วย

 

1.3 การเปลี่ยนระบบเลขฐาน 10 เป็นระบบเลขฐาน r

กรณีจำนวนหน้าจุดทศนิยม

ให้นำจำนวนหน้าจุดทศนิยม มาตั้งหารสั้นโดยตัวหารคือ r ( ฐานที่ต้องการเปลี่ยน ) ทำการหารไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งตัวตั้งศูนย์ ในการหารแต่ละครั้งให้เขียนเศษคือ 0, 1, 2, …, r – 1 ไว้บรรทัดเดียวกันทางขวามือ ผลลัพธ์ที่ต้องการได้จากการนำเศษที่เหลือทางขวามือมาเขียนเรียงกัน เริ่มจากล่างสุดขึ้นไป

 

กรณีจำนวนหลังจุดทศนิยม

ให้นำจำนวนหลังจุดทศนิยม มาตั้งคูณโดยตัวคูณคือ r ( ฐานที่ต้องการเปลี่ยน ) ทำการคูณไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งได้ผลคูณหลังจุดทศนิยมเป็นศูนย์ทุกตัว ซึ่งในการคูณแต่ละครั้งถ้ามีจำนวนหน้าจุดทศนิยมให้แยกไว้ แล้วนำเฉพาะจำนวนหลังจุดทศนิยมไปตั้งคูณครั้งต่อไป ผลลัพธ์ที่ต้องการให้นำตัวเลขหน้าจุดทศนิยมที่แยกเอาไว้มาเขียนเรียงกัน เริ่มจากตัวเลขหน้าจุดทศนิยมตัวแรกไปจนถึงตัวสุดท้าย

 

1.4 ความสัมพันธ์ของระบบเลขฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16

ในกรณีต้องการเปลี่ยนระบบเลขฐานใดฐานหนึ่งไปสู่ระบบเลขฐานใด ๆ โดยที่ระบบเลขฐานเดิมนั้นกับระบบเลขฐานใหม่ที่ต้องการ มีความสัมพันธ์กันจึงไม่จำเป็นที่จะต้องปรับเข้าสู่ระบบเลขฐาน 10 ก่อน

 

กรณีที่ 1 การเปลี่ยนระบบเลขฐาน 2 กับระบบเลขฐาน 8

เนื่องจาก ในการเปลี่ยนระหว่างเลขฐาน 2 กับระบบเลขฐาน 8 ให้แบ่งเลขฐาน 2 ออกเป็นชุด ๆ ละ 3 หลัก เริ่มแบ่งตรงจุด ถ้าไม่ครบ 3 หลักสามารถเดิม 0 ให้ครบ หน้าจุดให้เติม 0 ข้างหน้าหลังจุดให้เดิม 0 ข้างหลัง นั่นคือเลขฐาน 2 จำนวน 3 หลัก มีความสัมพันธ์กับเลขฐาน 8 จำนวน 1 หลัก

ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบเลขฐาน 2 กับระบบเลขฐาน 8

 

 

กรณีที่ 2 การเปลี่ยนระบบเลขฐาน 2 กับระบบเลขฐาน 16

เนื่องจาก ในการเปลี่ยนระหว่างเลขฐาน 2 กับเลขฐาน 16 ให้แบ่งเลขฐาน 2 ออกเป็นชุด ๆ ละ 4 หลัก เริ่มแบ่งตรงจุด ถ้าไม่ครบ 4 หลักสามารถเติม 0 ให้ครบ เช่นเดียวกับกรณีที่ 1 นั่นคือ เลขฐาน 2 จำนวน 4 หลัก มีความสัมพันธ์กับเลขฐาน 16 จำนวน 1 หลัก

 

ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบเลขฐาน 2 กับระบบเลขฐาน 16

 

กรณีที่ 3 การเปลี่ยนระบบเลขฐาน 8 กับระบบเลขฐาน 16

เมื่อต้องการเปลี่ยนระหว่างระบบเลขฐาน 8 กับระบบเลขฐาน 16 สามารถเปลี่ยนแปลงกันได้โดยผ่านทางระบบเลขฐาน 10 หรือระบบเลขฐาน 2 ซึ่งในที่นี้การผ่านทางระบบเลขฐาน 2 จะทำได้สะดวกและรวดเร็วกว่า

 

1.5 การบวกระบบเลขฐานต่าง ๆ

การบวกระบบเลขฐาน r ใด ๆ นั้นสามารถบวกพร้อมกันได้ แต่จะต้องตั้งจุดให้ตรงกัน ทำการบวกแต่ละหลัก ถ้าผลบวกแต่ละหลักมีค่าน้อยกว่า r ก็ใส่เป็นคำตอบได้เลย ส่วนผลบวกแต่ละหลักมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ r จะต้องเปลี่ยนผลบวกนั้นเข้าสู่ระบบเลขฐาน r ดังนี้

สูตร ผลบวก = n( r ) + m

โดยที่ n เป็นตัวเลขสำหรับทดในหลักถัดไป ซึ่ง

และ m เป็นตัวเลขสำหรับใส่เป็นคำตอบ ซึ่ง

1.6 การลบระบบเลขฐานต่างๆ

การลบระบบเลขฐาน r ใด ๆ นั้นไม่สะดวกต่อการที่จะหาผลลบพร้อม ๆ กัน จึงให้ทำการลบทีละจำนวน ถ้าในการลบแต่ละหลักตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบ จะต้องทำการขอยืมจากหลักถัดไปข้างหน้ามา 1 หน่วย ซึ่งมีค่าเท่ากับ r หน่วย

นั่นคือ ระบบเลขฐาน 2 ขอยืมมา 1 หน่วย มีค่า 2 หน่วย

ระบบเลขฐาน 8 ขอยืมมา 1 หน่วย มีค่า 8 หน่วย

ระบบเลขฐาน 16 ขอยืมมา 1 หน่วย มีค่า 16 หน่วย

1.7 การคูณระบบเลขฐานต่าง ๆ

การคูณระบบเลขฐาน r ใด ๆ จะต้องตั้งหลักสุดท้ายให้ตรงกัน ในการคูณแต่ละหลัก ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง r – 1 ก็ใส่เป็นคำตอบได้ แต่ถ้าผลคูณแต่ละหลักมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ r แล้ว จะต้องเปลี่ยนผลคูณนั้นเข้าสู่ระบบเลขฐาน r โดยใช้สูตรดังนี้

ผลคูณ = n( r ) + m

โดยที่ n เป็นตัวเลขสำหรับทดหลักถัดไป ซึ่ง 1 ≤ n ≤ r – 1

m เป็นตัวเลขสำหรับใส่เป็นคำตอบ ซึ่ง 0 ≤ m ≤ r – 1

 

 

 

หน่วยที่ 1 เรื่อง อัตราส่วน

 

อัตราส่วนใช้ในการแก้ปัญหาทางด้านช่าง เช่น อัตราสว่ นระหว่างตะกั่ว : ดีบุก = 1: 2

อัตราส่วนระหว่างปูน : ทราย = 1: 3 เป็นตน้ ความหมายของอัตราส่วน คือการเปรียบเทียบปริมาณ

สองปริมาณ แต่ละปริมาณเป็นจำนวน สิ่งของ ความสูง และความยาว เป็นต้น

การเขียนอัตราส่วน a ต่อ b สามารถเขียนแทนดว้ ย a : b หรือ เขียนในรูปเศษส่วน เป็น

b

a

เรียก a ว่าเป็นจำนวนแรก หรือจำนวนที่หนึ่ง

b ว่าเป็นจำนวนหลัง หรือจำนวนที่สอง

ตัวอย่าง เช่น ถ้าวัดความสูงจากรูป 1 เซนติเมตร ความสูงจริง 200 เซนติเมตร เรากล่าวว่าความสูงที่

วัดได้จากรูปเมื่อเปรียบเทียบกับความสูงจริงเปน็ อัตราส่วน 1 ต่อ 200 เขียนแทนดว้ ย 1: 200 หรือ

200

1

อัตราส่วนระหว่างตะกั่ว ตอ่ ดีบุก = 1: 2 หรือ 2

1

ตำแหน่งของจำนวนในแต่ละอัตราส่วนมีความสำคัญ การสลับตำแหน่งกันจะได้อัตราส่วนที่ต่างๆ กัน

เช่น a : b ≠ b : a , 1: 5 ≠ 5 :1 เป็นต้น

การเขียนอัตราส่วนมี 2 ลักษณะ ดังนี้

1. เมื่ออัตราส่วนทั้งสองอัตราส่วนมีหน่วยเหมือนกันอาจจะเขียนหรือไม่ต้องเขียนหน่วยกำกับ

ไว้ก็ได้ แต่ส่วนมากไม่นิยมเขียนหน่วยกำกับ เช่น จำนวนนักเรียนชาย 24 คน ต่อ จำนวนนักเรียนหญิง

18 คน ดังนั้นการเปรียบเทียบจำนวนนักเรียนชายและนักเรียนหญิงในรูปอัตราส่วนจะได้ว่า อัตราส่วน

นักเรียนชาย ตอ่ นักเรียนหญิงเท่ากับ 24 ต่อ 18 หรือ 24 :18 หรือ 18

24

2. เมื่ออัตราส่วนทั้งสองอัตราส่วนมีหน่วยต่างกันต้องเขียนหน่วยกำกับไว้เสมอ เช่น ปากกา 2

ด้าม ราคา 16 บาท เขียนในรูปของอัตราส่วนดังนี้ อัตราส่วนของปากกาเป็นด้ามต่อราคาเป็นบาท คือ

2 : 16 หรือ อัตราส่วนของจำนวนปากกา ต่อ ราคา คือ 2 ด้าม : 16 บาท

คุณสมบัติของอัตราส่วน

การหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วนที่กำหนดให้ ทำได้โดยใช้หลักการดังนี้

1. หลักการคูณ เมื่อคูณแต่ละจำนวนในอัตราส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน โดยที่จำนวนนั้นต้องไม่

เท่ากับศูนย์ จะได้อัตราส่วนจำนวนใหม่ที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนเดิม

2

เช่น a : b = ma : mb เมื่อ (m ≠ 0)

4 : 5 = 4 × 6 : 5× 6 = 24 : 30

2. หลักการหาร เมื่อหารแต่ละจำนวนในอัตราส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน โดยที่จำนวนนั้นไม่เท่า

กับศูนย์ จะได้อัตราส่วนจำนวนใหม่ที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนเดิม

เช่น k

b

k

a : b = a : เมื่อ (k ≠ 0)

10 : 21

3

: 63

3

30 : 63 = 30 =

ตัวอย่างที่ 1 จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วนที่กำหนดให้อีก 2 อัตราส่วน

1. 2 : 7

2. 16 : 64

วิธีทำ (1) 2 : 7 หรือ 7

2 = 7 4

2 4

×

× = 28

8 = 8 : 28

= 7 9

2 9

×

× = 63

18 = 18 : 63

ดังนั้นอัตราส่วนที่เท่ากับ 2 : 7 คือ 8 : 28 และ 18 : 63

(2) 16 : 64 หรือ 64

16 = 2

: 64

2

16 = 8 : 32

= 8

: 64

8

16 = 2 : 8

ดังนั้นอัตราสว่ นที่เท่ากับ 16 : 64 คือ 8 : 32 และ 2 : 8 ตอบ

การทำอัตราส่วนให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ คือ การนำจำนวนใดจำนวนหนึ่งมาหารทั้งเศษและ

ส่วน จนไม่สามารถหารได้ อัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนอย่างต่ำหรือเศษส่วนอย่างต่ำ

ตัวอย่างที่ 2 จงทำอัตราส่วนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ

1. 36 : 48

2. 26 : 65

3

วิธีทำ (1) 36 : 48 หรือ 48

36 = 12

: 48

12

36 = 3 : 4

(2) 26 : 65 หรือ 65

26 = 13

: 65

13

26 = 2 : 5

ดังนั้น อัตราส่วนอย่างต่ำของ 36 : 48 คือ 3 : 4

อัตราส่วนอย่างต่ำของ 26 : 65 คือ 2 : 5 ตอบ

การนำอัตราส่วนไปประยุกต์ใช้

ตัวอย่างที่ 3 นมสดผสมน้ำในอัตราส่วน 5 : 2 ถ้าต้องการน้ำนมที่ผสมน้ำแลว้ จำนวน 49 ลิตร

จะต้องใช้นมสดเท่าไร

วิธีทำ นมสดผสมน้ำ อัตราส่วน = 5 : 2

หมายความว่า น้ำนมสด 5 ส่วน และน้ำ 2 ส่วน ส่วนผสมทั้งหมด = 5 + 2 = 7 ส่วน

ดังนั้นน้ำนมที่ผสมน้ำ 49 ลิตร จะเท่ากับน้ำนมสด 7 ส่วน

จะได้ว่าน้ำนม 1 ส่วน = 7

7

49 = ลิตร

ดังนั้น ต้องใช้นมสด = 5× 7 = 35 ลิตร

ต้องใช้น้ำ = 2 × 7 = 14 ลิตร ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 โลหะผสมประกอบดว้ ยเหล็กและดีบุก ในอัตราส่วน 8 : 3 ถ้ามีดีบุก 72.4 กรัม ต้องใช้

เหล็กกี่กรัม

วิธีทำ สมมติว่าใช้เหล็ก x กรัม

จากโจทยจ์ ะได้ว่า 8 : 3 = x : 72.4

หรือ 3

8 = 72.4

x

x = 3

72.4× 8

x = 193.06 กรัม

ดังนั้น ต้องใช้เหล็ก 193.06 กรัม ตอบ__

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

หน่วยที่ 5 เรื่อง สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

 

ความหมายของสมการ

สมการ เป็นประโยคสัญลักษณ์แสดงถึงการเท่ากันของจำนวนโดยใช้เครื่องหมาย “=”

เช่น 5 + 2 = 7 สมการเป็นจริง

การแก้สมการ คือการหาค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง โดยอาศัยสมบัติการเท่ากันของ

จำนวนจริง

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

สำหรับ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสมมาตร

ถ้า a = b แล้ว b = a

2. สมบัติการบวก

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c หรือ a − c = b − c

3. สมบัติการคูณ

ถ้า a = b แล้ว a × c = b × c หรือ c

b

c

a =

4. สมบัติการแจกแจง

a ×(b + c)= (a × b)+ (a × c) หรือ

(b + c)× a = (b × a)+ (c × a)

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และกำลังสูงสุดของตัวแปร

เท่ากับหนึ่ง เช่น

1. 3x + 5 = 10

2. 19(1+ x)= 16x −11

3.

10 4

3

5

4x − = x

รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ax + b = 0 เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว a ≠ 0

และ x เป็นตัวแปร

22

วิธีการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จัดสมการให้อยู่ในรูปอย่างง่าย โดยให้ตัวแปรและค่าคงที่

อยู่คนละข้าง แล้วใช้สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 9x + 7 = 25

วิธีทำ 9x + 7 = 25

9x + 7 − 7 = 25 − 7 ( นำ 7 ลบทั้งสองข้าง )

9x = 18

9

18

9

9x = ( นำ 9 หารทั้งสองข้าง )

x = 2 ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า x จากสมการ 5x + 4 = 3(x − 2)

วิธีทำ 5x + 4 = 3(x − 2)

5x + 4 = 3x − 6 ( สมบัติการแจกแจง )

5x + 4 − 3x = 3x − 3x − 6 ( นำ 3x ลบทั้งสองข้าง )

2x + 4 = −6

2x + 4 − 4 = −6 − 4 ( นำ 4 ลบทั้งสองข้าง )

2x = −10

2

10

2

2x = − ( นำ 2 หารทั้งสองข้าง )

x = −5 ตอบ

สมการตัวแปรเดียวที่อยู่ในรูปเศษส่วนจะต้องหา ค.ร.น. ของตัวส่วน แล้วนำ ค.ร.น.

คูณทุกพจน์ของสมการ จากนั้นจึงดำเนินการแก้สมการต่อไป

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่า x จากสมการ ( )

2

4 25

8

7 4 −

=

x − x

วิธีทำ ( )

2

4 25

8

7 4 −

=

x − x

นำ 8 ซึ่งเป็น ค.ร.น. ของ 8,2 คูณทั้งสองข้างของสมการ

( ) 8

2

8 4 25

8

7 4 ×

−

× =

x − x

7(x − 4)= 4(4x − 25)

7x − 28 = 16x −100 ( สมบัติการแจกแจง )

23

7x −16x = −100 + 28

− 9x = −72

9

72

9

9

−

−

=

−

− x ( นำ − 9 หารทั้งสองข้าง )

x = 8 ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่า x จากสมการ 2

6 3

5 3 = +

x − x

วิธีทำ 2

6 3

5 3 = +

x − x

นำ 6 ซึ่งเป็น ค.ร.น. ของ 6,3 คูณทั้งสองข้างของสมการ

6 (2 6)

3

6

6

5 3 × = × + ×

x − x

5X − 3 = 2X +12

5X − 2X = 3 +12

3X = 15

X = 5 ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ 1.5x −12.8 = 0.8x −1.6

วิธีทำ 1.5x −12.8 = 0.8x −1.6

1.5x − 0.8x = 12.8 −1.6

0.7x = 11.2 ( นำ 10 คูณทั้งสองข้าง )

7x = 112

16

7

x = 112 = ตอบ

 

 

 

 

 

 

 

หน่วยที่ 2 เรื่อง สัดส่วน

 

สัดส่วนหมายถึง ประโยคที่แสดงการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วน โดยทำอัตราส่วน

ทั้งสองให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำแล้ว จะมีค่าเท่ากันเสมอ เขียนอยูใ่ นรูปของ a : b = c : d หรือ เขียน

ในรูปของเศษส่วน d

c

b

a = เช่น 3 : 4 = 6 : 8 หรือ 8

6

4

3 =

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x ในสัดส่วนที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1. 10 : x = 3 : 7

2. x : 56 = 0.5 : 0.7

วิธีทำ (1) 10 : x = 3 : 7 หรือ 7

10 = 3

x

10 × 7 = 3× x

3

23 1

3

x = 70 = ตอบ

(2) x : 56 = 0.5 : 0.7 หรือ 0.7

0.5

56

x =

0.7 × x = 0.5× 56

40

0.7

56 0.5 =

×

x = ตอบ

สั ดส่วนมี 2 ชนิด มีดังนี้

1. สัดส่วนตรง คือ สัดส่วนของสิ่งที่นำมาเปรียบเทียบกัน จะมีความสัมพันธ์ไปในทางเดียวกัน

โดยเมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอีกสิ่งหนึ่งจะเพิ่มตาม หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดลงอีกสิ่งหนึ่งลดลง เช่น เสื้อตัวหนึ่ง

ราคา 190 บาท ซื้อเสื้อ 3 ตัวราคา 570 บาท เขียนในรูปสัดส่วนดังนี้

จำนวนเสื้อ : ราคาเสื้อ = 1:190 = 3 : 570

ดังนั้น ถ้า a : b และ c : d เป็นสัดส่วนตรงโดยที่จำนวนทั้ง 4 ไม่เท่ากับศูนย 

จะได้ a : b = c : d หรือ d

c

b

a =

2. สัดส่วนผกผัน คือ สัดส่วนของสิ่งที่นำมาเปรียบเทียบกัน จะมีความสัมพันธ์ไปในทางตรง

ข้ามกัน โดยเมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกสิ่งหนึ่งจะลดลง หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดลงอีกสิ่งหนึ่งจะเพิ่มขึ้น เช่น

ชาย 3 คน ทำงานชิ้นหนึ่งเสร็จในเวลา 20 วัน ถ้าชาย 8 คน ทำงานชิ้นเดียวกันเสร็จในเวลา 10 วัน

เขียนในรูปสัดส่วนดังนี้ จำนวนคน : จำนวนวัน = 3 : 20 = 8 :10

7

ดังนั้น ถ้า a : b และ c : d เป็นสัดส่วนผกผันโดยที่จำนวนทั้ง 4 ไม่เท่ากับศูนย 

จะได้

d

b c

a = 1 หรือ c

d

b

a =

ตัวอย่างที่ 2 รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีอัตราส่วนด้านกว้างต่อด้านยาวเท่ากับ 4 : 7 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามี

ความกว้าง 32 เซนติเมตร ความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ด้านกว้าง ต่อ ด้านยาว = 4 : 7 = 7

4

ถ้าด้านกว้าง 32 เซนติเมตร สมมุติให้ด้านยาว = x เซนติเมตร

4 : 7 = 32 : x

4 × x = 32 × 7

x = 56

ความยาวเท่ากับ 56 เซนติเมตร

ความยาวของเส้นรอบรูป = 2 ( กว้าง + ยาว)

= 2(56 + 32)

ดังนั้นความยาวของเส้นรอบรูป = 176 เซนติเมตร ตอบ

การนำสัดส่วนไปประยุกต์ใช้

ตัวอย่างที่ 3 ลวดทองแดงเส้นหนึ่งยาว 50 เมตร มีค่าความต้านทาน 3 โอห์ม ถ้าความต้านทานของ

ลวดทองแดงเป็นสัดส่วนกับความยาว จงหาความต้านทานของลวดทองแดงชนิดนี้ซึ่งมีความยาว 1

กิโลเมตร

วิธีทำ ถ้าลวดทองแดงยาว 1 กิโลเมตร สมมุติมีความต้านทาน x โอห์ม

ความต้านทานเป็นสัดส่วนกับความยาว

ความยาว 1 กิโลเมตร เท่ากับ 1000 เมตร

เขียนในรูปสัดส่วน คือ x

1000

3

50 =

60

50

1000 3 =

×

x =

ดังนั้น ลวดทองแดงมีความต้านทาน 60 โอห์ม ตอบ

8

ตัวอย่างที่ 4 คนงาน 14 คน ทำงานอย่างหนึ่งแล้วเสร็จในเวลา 5 วัน ถ้ามีคนงาน 35 คน จะทำงาน

อย่างเดียวกันแล้วเสร็จในเวลากี่วัน

วิธีทำ คนงาน 35 คน ทำงานแล้วเสร็จในเวลา x วัน

ถ้าคนงาน 14 คน ทำงานแล้วเสร็จในเวลา 5 วัน

เขียนในรูปสัดส่วน คือ x

5

14

35 =

35

5×14

x = = 2

ดังนั้น คนงาน 35 คนจะทำงานแล้วเสร็จในเวลา 2 วัน ตอบ

แบบฝึกหัด เรื่อง สัดส่วน

คำสั่ง จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด

1. จงหาค่า a ในสัดส่วน 8 :17 = 4 : a

2. จงหาค่า x ในสัดส่วน 70 : 45 = 14 : x

3. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชายต่อนักเรียนหญิงคิดเป็นอัตราส่วน 4 : 9 ถ้าโรงเรียนแห่งหนึ่งมี

นักเรียนทั้งหมด 3,640 คน จะมีนักเรียนชายและนักเรียนหญิงกี่คน

4. สังกะสีจำนวน 40 กิโลกรัม ต้องการทำทองเหลืองที่มีอัตราส่วนระหว่างทองแดงและสังกะสี

เป็น 7 : 3 จะต้องใช้ทองแดงจำนวนเท่าไร

5. คนงาน 10 คน ขนของขึ้นจากท่าเรือใช้เวลา 9 ชั่วโมง ถ้ามีคนงานจำนวน 18 คน ทำงานอย่าง

เดียวกันจะเสร็จในเวลากี่ชั่วโมง

 

 

 

 

 

 

 

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

 

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือสมการที่มีตัวแปรสองตัว และเลขชึ้กำลังของตัวแปรมีกำลังหนึ่ง

รูปทั่วไปของสมการ คือ ax + by = c เมื่อ a,b และ c เป็นจำนวนจริงใด a ≠ 0 , b ≠ 0

เช่น 3x + y = −1

4x + 2y = 10

การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

1. การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทนค่า มีวิธีการดังนี้

1.1 จัดรูปตัวแปรในสมการใดสมการหนึ่ง ให้ x อยู่ในรูปของ y หรือ y อยู่ในรูปของ x

1.2 นำตัวแปร x หรือ y ที่จัดรูปแล้วไปแทนค่าในสมการที่เหลือ ซึ่งทำให้สมการนั้นเป็น

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1.3 แก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวหาค่าตัวแปรตัวแรก

1.4 นำค่าตัวแปรที่ได้ไปแทนค่าในสมการ หาค่าตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ x − 2y = 6 และ 2x + y = 7

วิธีทำ x − 2y = 6 …………….(1)

2x + y = 7 …………….(2)

จากสมการ 1 x = 6 + 2y …………….(3)

แทนค่า x ในสมการ (2)

2(6 + 2y)+ y = 7

12 + 4y + y = 7

1

5

5 = −

−

y =

แทนค่า y = −1 ใน (3)

x = 6 + 2(−1)

x = 4

ดังนั้น x = 4 , y = −1 ตอบ